I. 도박사의 오류(Gambler's fallacy)

 

도박사의 오류(賭博師─誤謬, Gambler's fallacy)는 서로 독립적으로 일어나는 확률적 사건이 서로 확률에 영향을 미친다는 착각에서 기인한 논리적 오류를 말합니다. (위키백과 인용)

 

이해하기 쉽게 동전던지기를 예로 들겠습니다.

 

문1)동전을 8번 던졌는데 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 앞면, 즉 모두 앞면이 나왔다면
다음번 동전던지기에 돈을 건다면
앞면에 걸겠습니까? 아니면 뒷면에 걸겠습니까?

 

답1) : 앞면이 나올 확률 50%, 뒷면이 나올 확률 50%로 같습니다.

앞면이 8번이 아니라 100번 연속으로 나왔더라도 다음 동전던지기에서 앞면과 뒷면의 확률은 같죠.

 

 

문2)동전을 8번 던졌는데 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면, 앞면, 뒷면이 번갈아서 나왔습니다.
다음번 동전던지기에 돈을 건다면 앞면에 걸겠습니까? 아니면 뒷면에 걸겠습니까?

 

답2) 역시 앞면이 나올 확률 50%, 뒷면이 나올 확률 50%입니다.
아무리 앞의 결과가 특정 규칙을 보이더라도
새로 던지는 동전은 앞의 규칙에 영향받지 않습니다.

 

 

문3) 동전던지기에 돈을 걸었는데 10번 연속 돈을 잃었습니다.
다음번에 돈을 걸면 돈을 딸 가능성이 더 높을까요?

답3) 아닙니다. 아무리 많이 돈을 잃었더라도 다음에 돈을 딸 확률은 변치 않습니다.

 

 

그러나 도박사, 즉 도박을 하는 사람들은 착각을 많이 합니다.
- 동전던지기에서 앞과 뒤가 나올 확률이 같은데 뒤가 많이 나왔으니 다음엔 앞이 나올 것이다. 적어도 앞이 나올 확률이 더 높아질 것이다.
- 내가 돈을 딸 가능성과 잃을 가능성이 같은데, 계속 잃었으니 이제는 딸것이다
- 내가 오늘은 흐름이 좋으니까 좀더 크게 돈을 걸어도 계속 딸것이다

모두다 착각입니다. 이것이 도박사의 오류입니다.

 

일상 생활에서도 사람들은 도박사의 오류를 많이 범합니다.

다음과 같은 착각들은 모두 도박사의 오류입니다. (위키백과 인용)

- 윷을 던져서 도·개·걸만 계속 나오면 그 다음은 윷이나 모가 나올 확률이 높아질 것으로 착각하게 된다.

- 복권을 사서 매번 당첨되지 못한 경우 그 다음에 사면 꼭 당첨될 것이라는 잘못된 기대를 하게 되는 경우가 있다.

- 딸만 계속해서 갖게 된 부부가 다음에 아이를 갖게 된다면 꼭 아들일 것으로 착각하는 경우.

- 성공할 확률이 10% 정도밖에 되지 않는 수술을 해야 하는 상황에서 의사가 ‘그 동안 9명에게 이 수술을 했지만 실패했으니 이번엔 꼭 성공할 것이다’며 환자를 안심시키는 경우.

 

그런데, 이 오류에 하필 "도박사의 오류"라는 이름이 붙은 이유는,

카지노 같은 도박판에서 대부분의 사람들이 이러한 오류에 빠져있기 때문입니다.

 

좀더 구체적으로 카지노에 있는 게임들로 설명을 해 보겠습니다.

 

[룰렛]
1부터 36까지 숫자와 0, 00를 합쳐 총 38개의 숫자중 하나를 맞추는 게임입니다.
딜러가 38개의 숫자가 있는 돌아가는 원판에 구슬을 굴리는데
구슬이 멈추는 칸의 숫자를 예상하여 배팅합니다.
숫자의 색(흑색,적색), 숫자의 크기(1~18, 19~36), 홀짝 등으로 배팅할수도 있습니다.

 

보통들 다음과 같은 생각을 많이 하죠.
- 적색 숫자가 5연속 나왔으니 다음엔 흑색 숫자가 걸릴거야
- 홀이 5연속 나왔으니 다음엔 짝이 나올거야
- 이번에 '0(제로)'가 나왔으니 다음엔 '0'가 나오지 않을거야
- 저 사람이 돈을 잘 따니까 따라서 걸면 잘 맞을거야
- 룰렛판(숫자가 섞여서 배열되어 있습니다)에서 특정 구역의 숫자가 나온적이 없으니
다음번에는 그쪽 숫자들에 걸면 맞을거야
- 오늘 하루종일 '21'이 나오지 않았으니 이제 나올때가 됐어

 

모두다 착각이죠. 절대 그렇지 않습니다.

 

그러나 사람들은 자기의 예상이 틀려도 자기가 잘못 생각한다고 인정하지 않습니다.
오히려 다른 돌발변수때문에 아깝게 못맞춘걸로 여기죠

예를들면
- 하필이면 '00'가 터지는바람에 흐름이 바뀌어버렸어
- 마지막에 구슬이 튕겨서 들어갈데에 안들어가고 딴데에 들어갔어

- 딜러가 바뀌어서 판세가 달라졌어

- '34'도 가능성이 높은 거였는데 깜빡 못봤었네. 내가 왜 이 이걸 생각 못했을까?
이런식으로 여러가지 이유로 합리화하고 안타까워합니다.

또는
- 이번에도 짝이 나오다니... 이젠 홀이 나올가능성이 더 높아졌어. 꼭 나올꺼야.
이런식으로 추가적인 도박사의 오류에 빠집니다.

 

카지노에서는 친절하게도 지금까지의 룰렛 결과를 기록할수 있는 메모지를 제공합니다.
룰렛에서의 숫자배치도까지 그려져있어 일목요연하게 결과를 정리하기 좋습니다.
그러나 이 메모지 또한 도박사의 오류를 부추깁니다.

지금까지 어떤 숫자가 나왔는지는 앞으로의 숫자를 예상하는데 전혀 도움이 되지 못합니다.

 

[다이사이]
3개의 주사위를 던져 나오는 눈금의 결과를 예상하여 돈을 거는 게임입니다.
특정 눈금이 나오느냐(예를들어 1이 나오느냐)
특정 눈금의 조합이 나오느냐(예를들어 2와 5가 나오느냐)
주사위의 합에(주사위의 합이 12인것에)
더블이 나오느냐(예를들어 3이 두개 나오느냐)
트리플이 나오느냐(예를들어 5가 3개 나오느냐)
주사위 합의 대소(4~10은 소, 11~17은 대)
주사위의 홀짝
등에 돈을 걸 수 있습니다.

 

보통들 착각하는 유형은 룰렛과 비슷합니다.
- 트리플이 나왔으니 이제 트리플이 안나올거야
- '대'가 많이 나왔으니까 이젠 '소'가 나올꺼야. 지금 '소'에 걸면 승률이 적어도 60% 이상이야.
- 3이 워낙 안나왔으니 이젠 나올때가 되었어

 

그렇지 않습니다. 이전과 상관없이 확률은 항상 같습니다.

 

다이사이 또한 다이사이 전용 메모지를 카지노에서 배포합니다.
하지만 결과를 수백번 수천번 기록하고 분석한들
앞으로의 주사위 눈금을 예측하는데에는 전혀 도움이 되지 못합니다.

 

[빅휠]
커다란 바퀴가 54개의 구획으로 나뉘어 있고
실버, 골드, 다이아몬드, 조커, 메가 등 7개의 무늬가 분산되어 있습니다.
바퀴를 돌리고 어느무늬가 걸릴지를 예측하여 돈을 거는 게임입니다.
이건 룰렛과 유사하여 착각하는 유형도 룰렛과 비슷합니다. 따로 언급하지 않겠습니다.

 

[블랙잭, 캐리비언 스터드 포커]
이 게임들은 카드게임으로,
돈을 잃고 따는 것과 상관없이 매력이 있어서인지
어느때에 카지노에 가도 자리를 구하는게 하늘의 별따기입니다.

 

엄밀히 말해 이들 게임에는 도박사의 오류가 적용되지 않습니다.
이번에 10이 나왔다면 다음에 10이 나올가능성이 아주 미약하나마 줄기 때문입니다.

만약 6덱을 사용하는데 A가 24개 나왔다면 남은 카드에서는 A가 없겠죠.

그러나, "계속 졌으니 이젠 이길거야" 이렇게 생각하면 이건 도박사의 오류입니다.

 

다만, 이 게임들은 도박사의 오류와 상관없이
카지노측의 승률이 높기 때문에 (다른 게임들도 마찬가지이지만)
하면 할수록 카지노측이 이익을 보게 되어있습니다.

승률 이야기는 뒤에서 다시 하겠습니다.

 

여담입니다만, 제가 알고 있는 상식으로 블랙잭 게임에서 나온 카드를 메모하는것은 금지되어 있습니다.
마지막에 카드가 몇장 남지 않았을때 어느 카드가 남았는지를 알면 플레이어가 유리하기 때문입니다.

 

[바카라]

카드 4~6장으로 플레이어와 뱅커가 승부를 벌이는데

(플레이어와 뱅커의 역할 모두 딜러 혼자서 수행합니다.)

어느쪽이 이길지를 예상해서 돈을 거는 게임입니다.

 

바카라는 카드게임임에도 불구하고 그 독특한 특성으로 인해 블랙잭,캐리비언 포커와 구분됩니다.

 

돈을 건 후에, 카드가 공개되고 승패가 갈리고 바로 끝나버리는 시스템이라는 점이죠.

돈을 건 후에 추가로 할 수 있는게 없습니다. 아무런 결정권이 없죠.

그냥 카드가 공개되는것을 보고있어야 한다는 점에서 룰렛이나 다이사이, 빅휠과 다를바가 없습니다.

 

규칙이 제법 복잡해서 사람을 현혹시키지만

마치 동전던지기 앞면, 뒷면에 돈을 거는 것처럼

결국 플레이어가 이길거같냐 뱅커가 이길거 같냐 찍어서 돈을 거는것에 불과합니다.

 

바카라를 즐기는 사람들은 마치 남들이 못하는 고급스런 겜블을 하는것처럼 착각하지만

이런 사람들은 100% 도박사의 오류에 빠져있습니다.

 

흐름이 어쩌구 분위기가 어쩌구 겜블러끼리의 협조가 어쩌구 배팅조절기술이 어쩌구 ...

본인들은 인정하지 않겠지만 다 착각입니다. (도박사의오류 + 기타 착각들)

 

흔히들 바카라를 하는 사람들을 보면 메모지를 활용하는데

뱅커가 몇연승하는지 플레이어가 몇연승하는지를 적으면서 패턴과 배팅타이밍을 연구합니다.

이 메모지를 사용하는 사람은 무조건 도박사의 오류에 빠진 사람입니다.

 

그리고 소위 줄타기라는 대표적인 전략이 있는데,

예를들어 플레이어가 연승할때 계속 플레이어에 배팅하는걸 말합니다.

아주 대표적인 도박사의 오류입니다.

줄타기가 가끔 될때의 희열이 강렬해서 마치 통하는 것처럼 착각하는 것 뿐입니다.

정 못믿겠으면 집에서 동전던지기를 하면서 줄타기 전략을 시험해 보시면 알겁니다.

 

게다가 바카라는 최소배팅액이 높고 게임의 순환이 빨라 같은시간을 즐길경우 손해가 더욱 큽니다.

이 이야기는 뒤에서 다시 하겠습니다.

 

[슬롯머신]
슬롯머신은 누구나 잘 알죠.
기계에 돈넣고 슬롯을 돌려서 특정 조합이 나오면 돈이 나오는 게임입니다.
슬롯머신의 매력은 로또처럼 대박에 있습니다.
1500원에 대박터지면 크게는 수억원까지 받을수 있거든요.

 

슬롯머신에는 도박사의 오류를 적용할 수가 없습니다.
기계가 어떻게 설정되어 있는지 알 길이 없기 때문입니다.

공식적으로 슬롯머신은 '무작위 추출기'라서 도박사의 오류가 적용가능하지만
혹시 아닐지도 모르는 일이죠.(이건 개인적인 음모설입니다.)

 

오랫동안 대박이 터지지 않았으면 대박이 날 가능성이 높아지게끔 세팅해놨을수도 있고
대박터진 직후에는 대박이 덜 터지게 세팅해놨을수도 있죠.

 

그런데, 슬롯머신이야말로 가장 피해야할 게임입니다.
(이유는 뒤에 설명하겠습니다.)

 

[요약]

어떻게 판단했던지, 어떤 상황이던지,

"지금 여기에 걸면 돈을 딸 확률이 높다" 라고 생각하는 것은

모두다 도박사의 오류입니다.

확률은 항상 변치 않습니다.

 

심지어 두세시간 이상 돈을 안걸고 흐름을 살피다가

결정적인 순간이 왔을때 배팅한다는 분들도 계신데,

역시 도박사의 오류입니다.

결정적인 순간이란 없습니다.

 

II. 배팅 전략

여기서 배팅전략이란 배팅액수를 조절하는 전략을 뜻합니다.

아주 유명한 한가지 배팅 전략을 예로 들겠습니다.

동전던지기에 돈을 건다고 가정합니다. 앞 또는 뒤에 천원을 겁니다. 틀리면 다시 2천원을 겁니다. 틀리면 다시 4천원을 겁니다. 틀리면 다시 8천원을 겁니다. 틀리면 다시 만6천원을 겁니다. 틀리면 다시 3만2천원을 겁니다. 틀리면 다시 6만4천원을 겁니다. 틀리면 다시 12만8천원을 겁니다. 틀리면 다시 25만6천원을 겁니다. (배팅 상한선을 30만원으로 가정하고 여기까지 합니다)   한번이라도 맞는 순간 천원을 벌게될 겁니다. 그럼 다시 천원부터 거는겁니다. 그러면 거의 항상 천원씩 벌게 되어있습니다.   9연속 틀릴 가능성은 굉장히 낮으므로(0.2%), 안심해도 됩니다.

확률의 중요한 특징중의 하나는, 많이 하면 많이 할수록 확률에 근접한다는 것입니다.
10번 게임한 사람보다 10000번 게임한 사람이 확률에 근접한 결과를 얻습니다.

 

카지노는 확률차이로 수익을 얻습니다.

모든 게임은 카지노에 유리하게 되어있기때문에 플레이어의 환산승률은 50%가 되지 않습니다.

다른 표현으로, 손익 기대값이 항상 마이너스입니다.

 

* 제가 확률을 전공하지 않은 관계로 용어는 제맘대로 지어냈습니다.

그래도 이해하기에 큰 문제 없을겁니다. ^^

 

예를들어 [룰렛]의 경우 번호가 38개이기 때문에
한개 번호를 지정하고 맞출 확률은 1/38인데 건돈의 38배가 아닌 35배를 줍니다.

(1000원을 걸면 평균 921원을 돌려받아 평균 79원 손해, 환산승률 46%)

두개 번호를 동시지정하고 둘중 하나를 맞출 확률은 1/19인데 건돈의 19배가 아닌 17배를 줍니다.

(1000원을 걸면 평균 895원을 돌려받아 평균 105원 손해, 환산승률 45%)
네개 번호를 동시지정하고 넷중 하나를 맞출 확률은 1/9.5인데 건돈의 9.5배가 아닌 8배를 줍니다.

(1000원을 걸면 평균 842원을 돌려받아 평균 158원 손해, 환산승률 42%)

 

즉, 손익 기대값이 마이너스가 되죠.
모든번호에 1000원씩 돈을 올려놓았다면 38000원을 쓰면 35000원을 받아 항상 3000원 손해를 봅니다.

 

그럼 짝, 홀이나 레드, 블랙 또는 대, 소에 거는건 확률이 반반 아닐까요?
아닙니다. 룰렛에는 0와 00가 있어서 이들은 짝,홀도 아니고 레드,블랙이나 대,소도 아닙니다.
그러므로 2/38만큼 손해를 보게 되어있습니다. (1000원당 -53원, 승률 47%)

만약 짝, 홀 둘다에 1000원씩 배팅한다면 19번에 18번은 본전이지만 나머지 1번은 2000원 손해입니다.

 

[다이사이]의 경우

대,소나 짝,홀에 거는건 확률이 반반 아닐까요?
아닙니다. 대,소나 짝,홀의 확률은 반이 아닙니다.

트리플(1,1,1부터 6,6,6까지 6가지 경우)은 대,소도 아니고 짝,홀도 아닌 특별케이스로 분류되므로

그만큼 손해를 봅니다.
즉 1/36만큼 손해를 보게 되어있습니다.(1000원당 -28원, 승률 49%)

대, 소 둘다에 1000원씩 배팅한다면 36번에 35번은 본전이지만 나머지 1번은 2000원 손해를 봅니다.

 

그러면 단일눈금, 예를들어 예를들어 '1' 눈금이 나오는 경우에 돈을 거는 경우에

환산승률이 반반 아닐까요?

저는 얼마전까지도 단일눈금에 배팅하는경우 환산승률이 50%인 것으로 착각했습니다.

해당눈금이 주사위 한개에서만 나와도 보상을 받을뿐 아니라

주사위 두개에서 나오면 두배, 주사위 세개에서 나오면 세배의 보상을 받으므로

공평한 게임인줄 착각했습니다.

그러나 그렇지 않습니다. 

주사위 3개에서 배팅한 눈금이 나올 가능성이 약 42%밖에 되지 못하기 때문에

배팅한 원금 회수율이 떨어져서 그만큼 손해를 봅니다.

 

다른 방식으로 손해를 파악해본다면,
1부터 6까지 모든 눈금에 1000원씩 총 6000원의 배팅을 할 경우
주사위 3개의 눈금이 모두 다를경우(약 56%), 배팅금액과 같은 6000원을 돌려받아 원금이 보전되지만
주사위 3개중 두개의 눈금이 같다면(약 42%), 5000원밖에 돌려받지 못해 1000원 손해를 보고
주사위 3개중 세개의 눈금이 같다면(약 3%), 4000원밖에 돌려받지 못해 2000원 손해를 봅니다.

 

승률로 비교 하자면
다이사이 대,소 맞추기가 약 49%인데 비해
다이사이 단일눈금 맞추기는 환산승률이 약 46%밖에 되지 않습니다.

그 외에 두개눈금걸기, 합에걸기, 더블에 걸기, 트리플에 걸기 등등도 모두 카지노에 이익인 시스템입니다.
특히 트리플의 경우 승률이 제일 낮은데,

맞추게되면 150배를 주지만 트리플을 맞출 확률은 1/216밖에 되지 않습니다. (환산승률 약 35%)

 

 

다른 게임의 경우, 배팅하는 방식도 많고 배당도 다양하기 때문에 대표적인 것들만 간략하게 적겠습니다.

 

[빅휠]에서
조커를 맞추면 40배를 주지만 조커는 54개의 칸중 1개밖에 없기때문에 맞출 확률이 1/54에 불과합니다.

 

[블랙잭]
블랙잭은 확률을 계산하기 어렵지만
플레이어가 버스트(21초과)되면 딜러가 버스트되더라도 돈을 빼앗깁니다.

그래서 더블다운, 스플릿 등의 규칙을 적용하더라도 확률이 높을 수가 없습니다.

 

블랙잭에는 특히 MIT 수학천재 등등 전설적인 이야기들이 많습니다.